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2022年国家公务员数资知识点：几何问题中相似比的运用

2021-06-10 15:15:05 国家公务员考试网 http://yn.huatu.com/guojia/ 文章来源：云南分校

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　　对于几何问题，我们历年的国考和省考中都会考到，其中有部分题目会涉及到相似比的运用。

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　　从数学上来说，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大缩小、平移或旋转等方式变成另一个。此处所说的相似，不仅仅只是三角形的相似，任何角度形状相同的图形，相互之间都是属于相似图形。相似比是指两个相似图形的对应边的比值。比如边长为1厘米的正方形与边长为2厘米的正方形相似，相似比即为1:2。

　　知识点

　　以边长为1厘米和边长为2厘米的两个相似正方形为例，有：

	公式	原来	现在	比例	与相似比的关系
边长	无	1	2	1:2	相似比
周长		4	8	1:2	相似比
面积		1	4	1:4	相似比的平方
表面积		6	24	1:4	相似比的平方
体积		1	8	1:8	相似比的立方

　　二、例题

【例1】(2017江苏)某市规划建设的4个小区，分别位于直角梯形ABCD的4个顶点处(如图)，AD=4千米，CD=BC=12千米。欲在CD上选一点S建幼儿园，使其与4个小区的直线距离之和为最小，则S与C的距离是：

　　A.3千米

　　B.4千米

　　C.6千米

D.9千米

　　【解析】第一步，本题考查几何问题，属于几何特殊性质类。

　　第二步，幼儿园S与4个小区的直线距离之和为AS+BS+CS+DS=AS+BS+CD，由于CD长度为定值，则要使距离之和为最小，只需AS+BS最小。如图，以CD为对称轴，作A的对称点，连接B，与CD的交点即为S点，此时AS+BS为最小(两点之间线段最短)。

　　第三步，根据相似三角形判定定理，△DS ∽ △B CS，因此，由于SC+SD=CD=12千米，故(千米)。

　　因此，选择D选项。

　　【例2】(2017年国考)一块种植花卉的矩形土地如图所示，AD边长是AB的2倍，E是CD的中点，甲、乙、丙、丁、戊区域分别种植白花、红花、黄花、紫花、白花。则种植白花的面积占矩形土地面积的：

A、
B、
C、
D、

　　【解析】第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。

　　第二步，赋值丙面积为1，根据“中点”得到AB=2DE，所以甲的面积为4(相似图形，面积比等于相似比的平方)。丙和丁的底边都在DB上，顶点都为E，由于高相同，三角形面积比等于底边长之比，故得到丁的面积为2，同理乙的面积也为2。

　　第三步，由于戊的面积与丙、丁面积之和相等(三角形底边长度相等，高相等)，得到戊的面积为3，故总面积为4+2+1+2+3=12。根据种白花的面积为4+3=7，得到白花面积的占比为。

　　因此，选择C选项。

　　【例3】(2018年联考))某甜品店出售一种规则球形的甜品，该甜品由内部中空的球形面皮(每立方厘米成本0.4元)，和实心的芝士球(每立方厘米成本1元)组成，无论甜品大小规格如何，其中的芝士球半径始终为甜品半径的四分之三，已知制作半径为1厘米的该甜品成本约为2.73元那么要制作半径为2厘米的该甜品，成本约为

　　A.5.46元

　　B.7.45元

　　C.14.92元

　　D.21.88元

　　【解析】第一步，本题考查几何问题，属于几何特殊性质类。

　　第二步，球体体积之比等于相似比的立方，半径2厘米甜品的体积为半径1厘米甜品体积的2³=8倍，因此制作半径为2厘米甜品的成本为半径1厘米甜品的8倍。

　　第三步，成本约为2.73×8=21.84(元)。

　　因此，选择D选项。

　　【例4】(2019年四川)如图，沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆锥组成，下面的圆锥内装有细沙。计时开始时，将沙漏倒置，已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要1小时，则细沙高度下降一半所需的时间是：