保山市龙陵县2021-2022年大学生志愿服务西部计划志愿者面试公告

2021-07-20 14:19:56 云南人才招聘考试网 http://yn.huatu.com/shzp/ 文章来源：龙陵青年

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【导读】资格复审时间：2021年7月25日—26日，上午8:00—11:30，下午14:30—17:30。地点：团县委办公室。

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【试题练习】

如下图所示，15颗半径为2cm的特制台球放在一个等边三角形的有盖盒子中，每个小球都如图所示紧密排列，且与盒子各边相切，如果商家在储存台球时防止球体滚动，在里面铺满细沙，若细沙之间的缝隙忽略不计，则大约要装多少立方厘米细沙？（ $\sqrt{3}$ ≈1.732，π≈3.14）

A.254

B.310

C.408

D.502

正确答案：C

【解析】第一步，本题考查立体几何类。

第二步，如上图所示，在最上方和左下角找到两个球的球心O点和P点，连接AO和BP，并从O点、P点分别出发向AB边作垂线，相交于E点和D点，根据球的半径为2cm，则 $DE = 2 \times 8 = 16cm$ 。由于△ABC为等边三角形，则 $\angle \mathrm{EAO}$ 为30°，根据勾股定理，直角边 $AE = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$ cm，则装台球的盒子边长 $AB = 2\sqrt{3} \times 2 + 16 = 16 + 4\sqrt{3}$ cm，从A点作垂线AF垂直于BC，根据等边三角形面积公式 $\frac{\sqrt{3} a^2}{4}$ 得出， $\bigtriangleup ABC$ 面积为 $\frac{\sqrt{3} \times （ 16 + 4\sqrt{3} ）^2}{4}$ = $96 + 76\sqrt{3} {cm}^2$ 。
第三步，根据题意“每个小球都如图所示紧密排列，且与盒子各边相接”，则盒子的高度为小球的直径，即4cm，每个小球的体积为 $\frac{4}{3} \pi \mathrm{r}^{3}=\frac{4 \pi \times 2^{3}}{3}=\frac{32 \pi}{3}$ 。盒子内可以装的沙子体积为 $(96+76 \sqrt{3}) \times 4-15 \times \frac{32 \pi}{3}=384+304 \sqrt{3}-160 \pi$ $\approx 384+304 \times 1.732-160 \times 3.14=408.128 \mathrm{~cm}^{3}$ ，与C选项最接近。
因此，选择C选项。